1.Sistem Persamaan Linear Tiga Pemboleh Ubah
Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah ialah set tiga persamaan berbentuk ax + by + cz = d yang diselesaikan serentak untuk mencari nilai x, y dan z yang memuaskan ketiga-tiga persamaan.
- Tafsiran geometri — setiap persamaan linear tiga pemboleh ubah mewakili satu satah dalam ruang tiga dimensi. Penyelesaian unik ialah titik persilangan ketiga-tiga satah.
- Jenis penyelesaian — satu penyelesaian unik, tak terhingga penyelesaian (contohnya satah-satah bersilang pada satu garis) atau tiada penyelesaian (tiada titik sepunya kepada ketiga-tiga satah).
- Kaedah penghapusan — gabungkan dua pasangan persamaan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang sama, supaya tinggal dua persamaan dengan dua pemboleh ubah. Selesaikan, kemudian gantikan semula.
- Kaedah penggantian — jadikan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus daripada satu persamaan, kemudian gantikan ke dalam dua persamaan yang lain.
- Label persamaan — nomborkan setiap persamaan, contohnya (1), (2) dan (3), supaya langkah kerja jelas dan mudah diikuti oleh pemeriksa.
- Aplikasi — masalah harian seperti harga tiga jenis barang atau bilangan tiga jenis tiket boleh dimodelkan sebagai sistem tiga persamaan. Tentukan pemboleh ubah dengan jelas sebelum membina persamaan.
- Semakan — gantikan jawapan ke dalam ketiga-tiga persamaan asal; kesemuanya mesti benar.
2.Contoh & Kesilapan Lazim: Sistem Persamaan
- Tidak melabel persamaan. Nomborkan setiap persamaan supaya langkah penghapusan jelas.
- Kembangan salah. (x + 1)² = x² + 2x + 1, bukan x² + 1. Kesilapan ini paling kerap berlaku semasa penggantian.
- Jawapan tidak lengkap. Setiap nilai x mesti dipadankan dengan nilai y yang sepadan; tulis jawapan secara berpasangan.
- Gantian ke persamaan yang salah. Cari nilai pemboleh ubah kedua melalui persamaan linear untuk mengelakkan jawapan palsu.
- Tidak menyemak. Gantikan jawapan ke dalam semua persamaan asal; langkah ini mengambil masa kurang daripada seminit.
Contoh 1Selesaikan sistem persamaan x + y + z = 6, 2x − y + z = 3 dan x + 2y − z = 2.Lihat jalan kerjaTutup
Label (1) x + y + z = 6, (2) 2x − y + z = 3, (3) x + 2y − z = 2. (1) + (3): 2x + 3y = 8 ...(4). (2) + (3): 3x + y = 5 ...(5). Daripada (5), y = 5 − 3x. Ganti ke dalam (4): 2x + 3(5 − 3x) = 8 → 2x + 15 − 9x = 8 → −7x = −7 → x = 1. Maka y = 5 − 3 = 2 dan z = 6 − 1 − 2 = 3. Semakan (2): 2 − 2 + 3 = 3 ✓.
Contoh 2Selesaikan persamaan serentak y = x + 1 dan x² + y² = 13.Lihat jalan kerjaTutup
Ganti y = x + 1: x² + (x + 1)² = 13 → x² + x² + 2x + 1 = 13 → 2x² + 2x − 12 = 0 → x² + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0. Jadi x = 2 atau x = −3. Daripada y = x + 1: apabila x = 2, y = 3; apabila x = −3, y = −2. Penyelesaian: (2, 3) dan (−3, −2).
3.Persamaan Serentak Linear dan Tak Linear
Persamaan serentak linear dan tak linear ialah sepasang persamaan dua pemboleh ubah, dengan satu persamaan linear (darjah satu) dan satu lagi tak linear (mengandungi sebutan seperti x², y², xy atau 1/x), yang diselesaikan bersama.
- Makna geometri — penyelesaian ialah koordinat titik persilangan antara garis lurus dengan lengkung. Oleh itu, biasanya terdapat dua pasangan penyelesaian.
- Langkah 1 — daripada persamaan linear, jadikan x atau y sebagai perkara rumus. Pilih pemboleh ubah yang pekalinya 1 untuk mengelakkan pecahan.
- Langkah 2 — gantikan ungkapan itu ke dalam persamaan tak linear untuk mendapat persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
- Langkah 3 — susun dalam bentuk ax² + bx + c = 0 dan selesaikan dengan pemfaktoran atau rumus kuadratik. Jika soalan meminta jawapan betul kepada tiga tempat perpuluhan, itu petunjuk untuk menggunakan rumus.
- Langkah 4 — gantikan setiap nilai yang diperoleh ke dalam persamaan linear untuk mencari nilai pemboleh ubah kedua.
- Tulis jawapan berpasangan — contohnya x = 2, y = 3 dan x = −3, y = −2.
- Kaitan dengan pembezalayan — jika persamaan kuadratik yang terbentuk mempunyai b² − 4ac = 0, garis itu ialah tangen kepada lengkung (hanya satu titik sentuhan). Jika b² − 4ac < 0, garis dan lengkung tidak bersilang.