Janjang

Janjang aritmetik ialah jujukan nombor dengan beza antara setiap sebutan dengan sebutan sebelumnya adalah tetap; beza tetap ini dipanggil beza sepunya, d.

• Sebutan pertama, a — iaitu T₁. Beza sepunya d = T₂ − T₁ = T₃ − T₂, dan boleh bernilai positif, negatif atau sifar.
• Menguji janjang aritmetik — tunjukkan T₂ − T₁ = T₃ − T₂. Jika tiga sebutan berturutan ialah x, y dan z, maka y − x = z − y, iaitu 2y = x + z.
• Sebutan ke-n — Tₙ = a + (n − 1)d. Contoh: bagi 4, 7, 10, …, T₂₀ = 4 + 19(3) = 61.
• Bilangan sebutan — jika sebutan terakhir l diketahui, selesaikan a + (n − 1)d = l untuk mencari n.
• Hasil tambah n sebutan pertama — Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d], atau Sₙ = n/2 (a + l) apabila sebutan terakhir diketahui.
• Hubungan Tₙ dan Sₙ — Tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. Contohnya, T₅ = S₅ − S₄.
• Hasil tambah sebahagian sebutan — hasil tambah dari sebutan ke-6 hingga sebutan ke-10 ialah S₁₀ − S₅.
• Aplikasi — simpanan yang bertambah dengan jumlah tetap setiap bulan, susunan kerusi dalam dewan, atau tin yang disusun bertingkat.

• Guna n menggantikan (n − 1). Sebutan ke-n janjang aritmetik ialah a + (n − 1)d, dan bagi janjang geometri arⁿ⁻¹.
• Mengelirukan Tₙ dengan Sₙ. Sebutan ke-n ialah satu nombor dalam jujukan; hasil tambah n sebutan ialah jumlah n sebutan pertama.
• Guna S∞ apabila |r| ≥ 1. Hasil tambah hingga ketakterhinggaan hanya wujud jika −1 < r < 1.
• Tanda kurung untuk r negatif. Jika r = −2, tulis (−2)⁴ = 16, bukan −2⁴ = −16.
• Nilai n mesti integer positif. Jika penyelesaian memberi n > 7.3 untuk Sₙ melebihi suatu nilai, jawapannya n = 8.

Janjang geometri ialah jujukan nombor dengan setiap sebutan diperoleh dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan pemalar yang sama, iaitu nisbah sepunya r.

• Nisbah sepunya — r = T₂ ÷ T₁ = T₃ ÷ T₂. Jika r negatif, tanda sebutan berselang-seli, contohnya 3, −6, 12, −24, …
• Menguji janjang geometri — bagi tiga sebutan berturutan x, y dan z, syaratnya y/x = z/y, iaitu y² = xz.
• Sebutan ke-n — Tₙ = arⁿ⁻¹.
• Hasil tambah n sebutan pertama — gunakan Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) apabila r > 1 dan Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) apabila r < 1. Kedua-dua rumus setara; pilihan ini hanya mengelakkan pengiraan dengan nombor negatif.
• Hasil tambah hingga ketakterhinggaan — jika −1 < r < 1, sebutan semakin kecil dan hasil tambahnya menumpu kepada S∞ = a/(1 − r). Jika |r| ≥ 1, S∞ tidak wujud.
• Perpuluhan jadi semula — 0.777… = 0.7 + 0.07 + 0.007 + …, dengan a = 0.7 dan r = 0.1, jadi S∞ = 0.7/0.9 = 7/9.
• Mencari n dengan logaritma — soalan seperti mencari n terkecil supaya Tₙ melebihi suatu nilai memerlukan log kedua-dua belah, kemudian pilih integer n yang sesuai.
• Aplikasi — faedah kompaun, susut nilai aset dan jarak lantunan bola.