Pengamiran

Pengamiran ialah proses songsang bagi pembezaan: jika d/dx [F(x)] = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + c, dengan c pemalar pengamiran.

• Kamiran tak tentu — kamiran tanpa had; jawapannya mesti mengandungi + c kerana terbitan sebarang pemalar ialah sifar.
• Petua kuasa — ∫ axⁿ dx = axⁿ⁺¹/(n + 1) + c, bagi n ≠ −1: tambah satu pada indeks, kemudian bahagi dengan indeks baharu.
• Pemalar — ∫ k dx = kx + c.
• Sebutan demi sebutan — kamirkan setiap sebutan dalam hasil tambah atau hasil tolak secara berasingan.
• Bentuk (ax + b)ⁿ — ∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹/[a(n + 1)] + c; jangan lupa membahagi dengan a.
• Permudahkan dahulu — kembangkan hasil darab dan pecahkan pecahan sebelum mengamir, contohnya (x³ + 2x)/x = x² + 2.
• Mencari persamaan lengkung — jika fungsi kecerunan dy/dx dan satu titik pada lengkung diberi, kamirkan dy/dx, kemudian gantikan titik itu untuk mencari c.
• Kaitan dengan pembezaan — jika soalan memberi d/dx [g(x)] = h(x), maka ∫ h(x) dx = g(x) + c. Teknik ini sering muncul dalam soalan dua bahagian yang meminta anda membeza dahulu, kemudian mengamir.

• Lupa + c. Setiap kamiran tak tentu mesti mengandungi pemalar pengamiran.
• Tidak membahagi dengan a. ∫ (2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/8 + c, bukan (2x + 1)⁴/4 + c.
• Mengamir pengangka dan penyebut secara berasingan. Permudahkan pecahan dahulu.
• Luas rantau di bawah paksi-x. Nilai kamiran negatif; ambil nilai mutlak dan jangan biarkan bahagian positif dan negatif saling membatalkan.
• Isi padu kisaran. Jangan lupa π dan kuasa dua y (atau x).
• Had tertukar. Kira F(had atas) − F(had bawah), bukan sebaliknya.

Kamiran tentu ialah kamiran dengan had bawah a dan had atas b, dinilai sebagai ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), dengan F(x) kamiran bagi f(x); pemalar c terbatal dan tidak perlu ditulis.

• Sifat kamiran tentu — ∫ₐᵃ f(x) dx = 0; menukar kedudukan had atas dan had bawah menukar tanda kamiran; ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx.
• Luas antara lengkung dan paksi-x — L = ∫ₐᵇ y dx, dengan a dan b nilai x.
• Luas antara lengkung dan paksi-y — L = ∫ x dy, dengan had ialah nilai y.
• Rantau di bawah paksi — kamiran memberi nilai negatif; ambil nilai mutlaknya. Jika rantau berada di kedua-dua belah paksi, kira setiap bahagian secara berasingan, kemudian tambah.
• Luas antara garis dan lengkung — kamirkan (fungsi atas − fungsi bawah), atau kira luas bentuk mudah seperti segi tiga dan trapezium, kemudian tolak.
• Isi padu kisaran pada paksi-x — V = π∫ₐᵇ y² dx apabila rantau diputarkan 360° pada paksi-x.
• Isi padu kisaran pada paksi-y — V = π∫ x² dy, dengan had ialah nilai y.
• Unit — luas dalam unit², isi padu dalam unit³.
• Semakan pantas — lakar rantau yang terlibat sebelum mengamir supaya had dan fungsi atas atau bawah dipilih dengan betul.