1.Ketaksamaan Linear dan Rantau Tersaur
Pengaturcaraan linear ialah kaedah mencari nilai maksimum atau minimum bagi suatu fungsi objektif linear yang tertakluk kepada beberapa kekangan dalam bentuk ketaksamaan linear.
- Rantau ketaksamaan — apabila y dijadikan perkara rumus, rantau y > mx + c berada di atas garis y = mx + c, manakala y < mx + c berada di bawah garis.
- Garis sempadan — gunakan garis putus-putus untuk < atau >, dan garis penuh untuk ≤ atau ≥.
- Titik ujian — gantikan titik seperti (0, 0) ke dalam ketaksamaan; jika pernyataan benar, rantau yang mengandungi titik itu memenuhi ketaksamaan.
- Menterjemah ayat — tidak melebihi atau selebih-lebihnya: ≤; sekurang-kurangnya atau tidak kurang daripada: ≥; x sekurang-kurangnya dua kali y: x ≥ 2y; x melebihi y sekurang-kurangnya 5: x − y ≥ 5.
- Nisbah — x : y ≥ 1 : 2 bermaksud x/y ≥ ½, iaitu 2x ≥ y.
- Kekangan tersirat — kuantiti fizikal seperti bilangan barang tidak negatif, jadi x ≥ 0 dan y ≥ 0.
- Rantau tersaur — rantau yang memenuhi semua kekangan serentak. Lorek rantau ini dengan jelas dan labelkannya R jika diminta.
- Bucu rantau — titik persilangan garis sempadan; koordinatnya boleh dibaca daripada graf atau dikira dengan menyelesaikan persamaan serentak.
2.Contoh & Kesilapan Lazim: Pengaturcaraan Linear
- Garis putus-putus berbanding garis penuh. Ketaksamaan ketat (< atau >) mesti dilukis dengan garis putus-putus.
- Menterjemah dua kali secara terbalik. x sekurang-kurangnya dua kali y ialah x ≥ 2y, bukan 2x ≥ y.
- Lorek rantau yang salah. Uji satu titik bagi setiap garis sebelum melorek.
- Jawapan bukan integer. Jika konteks melibatkan bilangan barang, pastikan jawapan akhir ialah titik integer dalam rantau tersaur.
- Membaca bucu secara kasar. Jika bucu tidak jatuh tepat pada garisan grid, kira koordinatnya dengan persamaan serentak.
Contoh 1Sebuah kedai membuat x biji kek coklat dan y biji kek pandan sehari. Jumlah kek tidak melebihi 60, bilangan kek coklat sekurang-kurangnya dua kali bilangan kek pandan, dan sekurang-kurangnya 10 biji kek pandan dibuat. Tulis tiga ketaksamaan dan cari bucu rantau tersaur.Lihat jalan kerjaTutup
Ketaksamaan: x + y ≤ 60, x ≥ 2y dan y ≥ 10. Bucu: y = 10 dan x = 2y memberi (20, 10); y = 10 dan x + y = 60 memberi (50, 10); x = 2y dan x + y = 60 memberi 3y = 60, y = 20, x = 40, iaitu (40, 20).
Contoh 2Keuntungan ialah RM5 bagi sebiji kek coklat dan RM4 bagi sebiji kek pandan. Menggunakan rantau tersaur dalam contoh pertama, cari keuntungan maksimum sehari.Lihat jalan kerjaTutup
Fungsi objektif k = 5x + 4y. Di (20, 10): 100 + 40 = RM140. Di (50, 10): 250 + 40 = RM290. Di (40, 20): 200 + 80 = RM280. Keuntungan maksimum ialah RM290, apabila 50 biji kek coklat dan 10 biji kek pandan dibuat.
3.Fungsi Objektif dan Nilai Optimum
Fungsi objektif ialah ungkapan linear k = ax + by yang hendak dimaksimumkan (contohnya keuntungan) atau diminimumkan (contohnya kos) dalam rantau tersaur.
- Garis objektif — lukis ax + by = k dengan memilih nilai k yang mudah, biasanya gandaan sepunya bagi a dan b, supaya pintasan garis ialah nombor bulat dan mudah diplot.
- Kaedah garis selari — gerakkan garis objektif selari dengan dirinya merentasi rantau tersaur. Bagi a dan b positif, nilai maksimum berlaku di titik terakhir rantau yang disentuh semasa garis digerakkan menjauhi asalan, dan nilai minimum di titik pertama yang disentuh. Titik ini tidak semestinya bucu yang paling jauh dari asalan; ia bergantung pada kecerunan garis objektif.
- Kaedah bucu — nilai optimum berlaku pada bucu rantau tersaur; gantikan koordinat setiap bucu ke dalam k = ax + by dan bandingkan hasilnya.
- Titik integer — jika pemboleh ubah mewakili bilangan barang atau orang, jawapan mesti integer. Jika bucu bukan titik integer, pilih titik integer dalam rantau yang memberi nilai terbaik.
- Soalan julat — contohnya mencari julat bilangan y apabila x = 20: lukis garis x = 20 dan baca nilai y terkecil dan terbesar dalam rantau.
- Membaca graf — gunakan skala yang diberi dengan tepat; bacaan yang tidak tepat menjejaskan jawapan akhir.
- Tafsir jawapan — nyatakan nilai optimum berserta bilangan setiap barang, contohnya keuntungan maksimum RM290 apabila 50 unit x dan 10 unit y dihasilkan.